যৌক্তিক ভাবনা ও কম্পিউটিং: পর্ব ৩

পর্ব ১ | পর্ব ২

কম্পিউটার প্রোগ্রামিংয়ে খুব গুরুত্বপূর্ণ একটি বিষয় সমাধানমুখী চিন্তাভাবনার দক্ষতা অর্থাৎ, যে পথে সমাধান আসবে তা ভেবে উঠতে পারা। কোন একটি প্রোগ্রাম তৈরি করতে গেলে আমরা আমাদের জানা তথ্য, অ্যালগরিদমকে হুবুহু ব্যবহারের সুযোগ পাই না। অনেকগুলো টুকরো টুকরো জানা তথ্যকে সংযুক্ত করে ধীরে ধীরে সমাধানের দিকে এগিয়ে যেতে হয়। এজন্য কোন সীমারেখার ভেতর চিন্তাকে আবদ্ধ না করে কল্পনাকে ছড়িয়ে দিতে হয় চারদিকে। কল্পনাশক্তির মত রঙিন আর সরস কিছুই পারে আপাত নীরস একটি প্রোগ্রামিং সমস্যাকে সমাধান করতে। প্রোগ্রামিংয়ে নিজেদের কল্পনাশক্তিকে প্রসারিত করার একটি উপায় হতে পারে গাণিতিক, যৌক্তিক ও ছবির ধাঁধা (Mathematical, Logical and Visual Puzzles) সমাধানের চেষ্টা করা। আজকের পর্বে আমরা তেমনই কিছু ধাঁধা সমাধান করে কল্পনার জগতে কিছুক্ষণ হলেও থাকার চেষ্টা করব। এখানে চারটি ধাঁধাকে নমুনা সমস্যা হিসেবে নিয়ে সমাধানের পথে কিভাবে এগিয়ে যেতে হবে তা আলোচনা করা হয়েছে। কেউ চাইলে শুধু প্রশ্নটি পড়ে নিজেই সমাধানের চেষ্টা করতে পারেন।

১.

মনে করুন, আপনাকে বলা হল একটি 1 এবং চারটি 7 ব্যবহার করে যেকোন গাণিতিক অপারেটরের (+, -, *, /, !, ^,log …… ইত্যাদি) সাহায্যে 100 সংখ্যাটি পেতে হবে।অর্থাৎ, আপনার কাছে আছেঃ 7,7,7,7,1 এবং আপনাকে এমন একটি সমীকরণ তৈরি করতে হবে যার ফলাফল 100। একটি নমুনা প্রচেষ্টাঃ

(7*7) + (7*7)+1
= 49+49+1
= 99

কিন্তু এটি ভুল উত্তর দিচ্ছে। একই সংখ্যাসমূহ ব্যবহার করে 100 পেতে হবে। অনেক সমন্বয়ে আমরা চিন্তা করতে পারি। একটু আগ বাড়িয়ে কেউ যদি কল্পনা করে নিতে পারেনঃ

17 + 77 + 7
= 101

তাহলে তা প্রশংসনীয় (যদিও এক্ষেত্রেও উত্তর ভুল)। কারণ, আমাদের বলা হয়েছে, 100 পেতে হবে। কোথাও বলা হয় নি, সংখ্যাগুলোকে আলাদা আলাদাভাবে ব্যবহার করতে হবে। এভাবে একটি 1 এবং চারটি 7 ব্যবহার করে 71,177,717,771,777 নানা সমন্বয়ে যদি আমরা চেষ্টা করি, তাহলে খুব সহজ একটি সমীকরণে পৌঁছাতে পারি।

177 – 77 = 100

যাঁরা সমীকরণ তৈরিতে আ রও সিদ্ধহস্ত তাঁরা হয়তো এই সমীকরণটিও পেতে পারেন।

(7 + 7) * (7 + (1/7)) = 100

অর্থাৎ, 1 এবং 7 কে ভগ্নাংশ হিসেবেও ব্যবহার করতে পারেন। আর এভাবেই আকাঙ্খিত ফলাফলের দিকে এগিয়ে যেতে পারেন।

২.

এবার আরেকটি সমস্যা নিয়ে আমরা ভাবি। আমাদেরকে দুটি সংখ্যা 5 এবং 9 দেওয়া হল এবং যেকোন গাণিতিক প্রতীক (Symbol) ব্যবহারের সুবিধা দেওয়া হল। তারপর জানতে চাওয়া হল, 5 আর 9 এর মাঝখানে কী প্রতীক বসালে তা সংখ্যা দুটির মধ্যবর্তী কোন সংখ্যা নির্দেশ করবে?

এক্ষেত্রে প্রথমেই যা মাথায় আসে তা হল, 5 আর 9 এর মাঝে কোন প্রতীক বসালে এর মান 6,7 বা 8 তো হবে না। কিন্তু প্রশ্নটিতে একটি সংখ্যা তৈরি করতে বলা হয়েছে, পূর্ণ সংখ্যা হতে হবে এমন বলা হয় নি।

আমরা একটি দশমিক (.) চিহ্ন ব্যবহার করে 5.9 সংখ্যাটি পেতে পারি যা 5 এবং 9 কেও অটুট রাখে এবং অন্যান্য সব শর্তও পূর্ণ করে।

৩.

তিন সুবেশী ভদ্রলোক মিঃ হলুদ, মিঃ বাদামী এবং মিঃ সবুজ এক বৈঠকে মিলিত হলেন। তাঁদের টাইয়ের রংও হলুদ, বাদামী এবং সবুজ। মিঃ হলুদ বললেন, “আমাদের যার যার টাইয়ের রং আমাদের নামের সাথে মেলে না।” সবুজ টাই পরা ভদ্রলোক বললেন, “হ্যাঁ, ঠিক।”

তাহলে আমাদের জানতে হবে, কে কী রংয়ের টাই পরেছেন?

এটি একটি যুক্তির ধাঁধা। তিন ভদ্রলোকের টাইয়ের রং তাঁদের নামের সাথে মেলে না। মিঃ হলুদের টাইয়ের রং হয় বাদামী না হয় সবুজ। কিন্তু সবুজ টাই পরা অন্য এক ভদ্রলোকের উল্লেখ আমরা পেলাম। তাহলে অবশ্যই মিঃ হলুদের টাইয়ের রং বাদামী। সবুজ টাই পরা ভদ্রলোকের নাম মিঃ হলুদ হতে পারে না, তাই তাঁর নাম মিঃ বাদামী। এভাবে আমরা, সবার নাম ও টাইয়ের রং জানতে পারি।

মিঃ হলুদ — বাদামী টাই
মিঃ বাদামী —সবুজ টাই
মিঃ সবুজ — হলুদ টাই

৪.

এবারে একটি ছবির ধাঁধা দেখি।

একটি ঘড়ি, সংখ্যাগুলো রোমানে লেখা। হঠাৎ এক দুর্ঘটনায় এটি পড়ে গিয়ে চার টুকরা হয়ে গেল। কিন্তু অবাক কান্ড, প্রতিটি টুকরায় সংখ্যাগুলোর যোগফল 20। তাহলে কোন টুকরায় সংখ্যাগুলো কিভাবে পড়েছে তা আমাদের অনুমান করতে হবে।

চারটি টুকরাতেই যদি 20 করে যোগফল হয় তাহলে মোট যোগফল হতে হবে 80। কিন্তু 1 থেকে 12 পর্যন্ত সব সংখ্যার যোগফল অর্থাৎ,1+2+3+4+…….+11+12 = 78. তাহলে, বাকি দুইয়ের হিসাব কিভাবে মিলবে? এখানে গিয়েই ভাবতে হবে, সমস্যাটিতে রোমান সংখ্যার ঘড়ি কেন নেওয়া হল? রোমানে কোন সংখ্যাকে মাঝখানে ভেঙে আমরা দুটি আলাদা মান পেতে পারি। যেমন VII কে V এবং II তে ভেঙে আমরা দুটি আলাদা টুকরায় 5 এবং 2 ভাগ করে নিতে পারি। কিন্তু এই সমস্যাটিতে ভাঙনটি এমনভাবে হতে হবে যাতে ভেঙে গিয়ে মান 2 বেড়ে যায়। এমন শুধু দুইটি সংখ্যাই আছে। একটি হল IV, মাঝে ভেঙে দিলে হবে I(1) এবং V(5), অর্থাৎ, 4 থেকে 2 বেশি। আরেকটি হল, IX, একে ভাঙলে হবে I(1) এবং X(10), অর্থাৎ, 9 থেকে 2 বেশি। পরের সংখ্যাটি বরাবর ভাঙলেই আমাদের শর্ত পূরণ হতে পারবে (নিচের ছবি দ্রষ্টব্য)।

আগ্রহী পাঠকেরা চাইলে আ রও কিছু ধাঁধা নিজেরা সমাধানের চেষ্টা করতে পারেন।

ক) একটি ভুল সমীকরণঃ 101 – 102 = 1. এখানে কোন একটি অঙ্ককে (digit) এমনভাবে বদলে দিতে হবে (প্রয়োজনে অবস্থান) যেন সমীকরণটি শুদ্ধ হয়।

খ) তিনটি 5 ব্যবহার করে তৈরি দুটি সমীকরণঃ (5-5)/5 = 0 এবং (5 + 5)/5 = 2. তিনটি 5 ব্যবহার করে যেকোন গাণিতিক অপারেটরের সাহায্যে 1 আর 3 পেতে হবে। কেউ চাইলে এরপর 4,5,6 ইত্যাদিও পাওয়ার চেষ্টা করতে পারেন।

গ) একটি 30 মিটার গভীর কুয়া আছে যেখানে এক লম্ফমান ব্যাঙের বাস। ব্যাঙের ইচ্ছা, কুয়া থেকে বেরিয়ে এসে পৃথিবী দেখার। সে প্রতিদিন কুয়ার দেওয়াল বরাবর লাফিয়ে 3 মিটার উপরে উঠে আসে কিন্তু রাতে ঘুমানোর সময় 2 মিটার নিচের দিকে পিছলে যায়। এভাবে কতদিনে ব্যাঙটি উপরে উঠে আসতে পারবে?

পাঠক, আপনার যদি কোন ধাঁধা জানা থাকে তাহলে তাও মন্তব্য অংশে জিজ্ঞেস করতে পারেন। তাহলে, সবার মধ্যে আলোচনার ক্ষেত্র প্রস্তুত হবে।

নিজেকে মুক্তমনার সাথে জড়িত ভাবতে ভালো লাগে।

মন্তব্যসমূহ

  1. কোষিক সেপ্টেম্বর 11, 2016 at 9:41 অপরাহ্ন - Reply

    দয়া করে অামাকে (গ) এর অঙ্কটা করে দিন।।।

  2. রামগড়ুড়ের ছানা জুলাই 26, 2011 at 4:25 অপরাহ্ন - Reply

    আমি কিছুদিন আগে ভার্সিটি প্রজেক্ট মজার কিছু গাণিতিক সমস্যা নিয়ে একটি সফটওয়্যার বানিয়েছি,প্রবলেম সলভিং এ আগ্রহীরা ব্যবহার করে দেখতে পারেন। আপনি নিজের বানানো প্রবলেম যোগও করতে পারবেন,লিংক: http://www.shafaetsplanet.com/math।
    ওটার ভলিউম ৩ এ coconut নামক একটি বেশ মজার সমস্যা আছে।

    • তুহিন তালুকদার জুলাই 26, 2011 at 10:04 অপরাহ্ন - Reply

      @রামগড়ুড়ের ছানা,

      ধন্যবাদ আপনার লিঙ্কটির জন্য। আমি শীঘ্রই ভিজিট করে আপনার সাথে যোগাযোগ করছি।

      • রামগড়ুড়ের ছানা জুলাই 26, 2011 at 10:12 অপরাহ্ন - Reply

        @তুহিন তালুকদার,
        লিংকে একটি character বেশি এসেছে।
        http://www.shafaetsplanet.com/math

        • তুহিন তালুকদার জুলাই 28, 2011 at 11:01 পূর্বাহ্ন - Reply

          @রামগড়ুড়ের ছানা,

          Character এর বিষয়টি আমি আগেই বুঝতে পেরেছিলাম। আসলে গত দুয়েকদিন ধরে ইন্টারনেট সংযোগ নিয়ে একটু জটিলতার কারণে ভালভাবে আপনার লিঙ্কটি ভিজিট করতে পারি নি। আজ বিকাল নাগাদ ইন্টারনেট সমস্যাটি সমাধান হয়ে যাওয়া উচিত।

          আচ্ছা, Java Math School পেইজে গিয়ে কি প্রথমে নিজেকে register করে নিতে হবে?

  3. রাব্বানী জুলাই 24, 2011 at 6:41 পূর্বাহ্ন - Reply

    আগে উত্তর দেই, তারপর কমেন্ট পড়ব!

    5^(5-5)=1, 5-(5/5)=4, 5+5-5=5, 5+(5/5)=6
    3 করতে দেরী হবে মনে হচ্ছে !

    • রাব্বানী জুলাই 24, 2011 at 6:47 পূর্বাহ্ন - Reply

      @রাব্বানী,
      আর কুয়া থেকে বের হতে ২৮ দিন লাগবে

    • তুহিন তালুকদার জুলাই 24, 2011 at 10:45 পূর্বাহ্ন - Reply

      @রাব্বানী,

      5^(5-5)=1

      এই পর্যন্ত যাঁরা ধাঁধা সমাধানের চেষ্টা করেছেন, তাঁরা 1 এর জন্য এই সমাধানটি বের করতে পারেননি, অন্য উপায়ে করেছেন। অভিনন্দন আপনাকে।

      3 এর জন্যও এধরণের কোন সমাধান পেতে চেষ্টা করুন।

      কুয়া থেকে বের হতে ২৮ দিন লাগবে

      সঠিক উত্তর।

  4. মিতু জুলাই 22, 2011 at 12:19 অপরাহ্ন - Reply

    পাঁচটি বিরাল ৫ মিনিটে ৫ টি ইঁদুর ধরে।১০০ মিনিটে ১০০টি ইঁদুর ধরতে কয়টি বিরাল লাগবে??? 🙂

    • পাপিয়া চৌধুরী জুলাই 22, 2011 at 6:24 অপরাহ্ন - Reply

      @মিতু,

      পাঁচটি বিড়াল ৫ মিনিটে ৫ টি ইঁদুর ধরে।

      তাহলে, ১টি বিড়াল ৫ মিনিটে ১টি ইঁদুর ধরে।

      ১ টি বিড়াল ৫০০ মিনিটে ১০০ টি ইঁদুর ধরবে।

      কিন্তু সময় যেহেতু ১০০ মিনিট তাই ৫ টি বিড়াল লাগবে।

      • মিতু জুলাই 23, 2011 at 4:50 অপরাহ্ন - Reply

        @পাপিয়া চৌধুরী,
        সঠিক উত্তর । :clap :clap

    • তুহিন তালুকদার জুলাই 22, 2011 at 6:37 অপরাহ্ন - Reply

      @মিতু,

      ধন্যবাদ আপনার ধাঁধাটি জিজ্ঞেস করার জন্য।

      • মিতু জুলাই 22, 2011 at 6:56 অপরাহ্ন - Reply

        @তুহিন তালুকদার,
        সঠিক উত্তর। :clap

        • তুহিন তালুকদার জুলাই 22, 2011 at 10:17 অপরাহ্ন - Reply

          @মিতু,

          সঠিক উত্তর যিনি দিয়েছেন, এই মন্তব্যটি তাঁর প্রাপ্য ছিল। আমি কেবল আপনাকে ধন্যবাদ দিয়েছি অংশগ্রহনের জন্য।

  5. ছদ্মবেশী জুলাই 22, 2011 at 1:58 পূর্বাহ্ন - Reply

    @তুহিন তালুকদার, ধাঁধাঁটি আমার কাছে বেশ আকর্ষনীয় মনে হয়েছে। তাই অনেক বার ব্যর্থ হয়েও নিরাশ হই নি। শেষ পর্যন্ত এর একটি সমাধান বের করেছি । বিচারের ভার অবশ্যই লেখকের ওপর ।

    “তাদের খরচ হল ৩*৯=২৭, টেবিল বয় নিল ২ টাকা, মোট ২৯ টাকা। ১ টাকা কোথায় গেল?”

    এখানে, তাদের মোট খরচ ২৭ টাকা (২৫ টাকা পিজ্জা + ২ টাকা টেবিল বয়) । সুতরাং ২৭ এর সাথে ২ যোগ হবে না । তাদেরকে ৩ টাকা ফেরত্‍ দেওয়া হয়েছে।
    অর্থাত্‍ (মোট খরচ + ফেরত্‍ দেওয়া টাকা) = ৩০টাকা ।
    হয়েছে কী ?

    • তুহিন তালুকদার জুলাই 22, 2011 at 5:44 পূর্বাহ্ন - Reply

      @ছদ্মবেশী,

      ধাঁধাঁটি আমার কাছে বেশ আকর্ষনীয় মনে হয়েছে। তাই অনেক বার ব্যর্থ হয়েও নিরাশ হই নি। শেষ পর্যন্ত এর একটি সমাধান বের করেছি ।

      ধাঁধা সমাধানে এই লেগে থাকাটাই সবচেয়ে জরুরি। আপনার প্রচেষ্টাকে সাধুবাদ জানাই। আপনার সমাধানটিও সঠিক হয়েছে। অভিনন্দন।

  6. তুহিন তালুকদার জুলাই 21, 2011 at 6:55 অপরাহ্ন - Reply

    পাঠকের সাথে আলোচনার মাধ্যমে পোস্টের ধাঁধাগুলোর সমাধান পাওয়া গেছে। আরেকটি ধাঁধা দেখুনঃ

    তিন বন্ধু দোকানে বসে একটি পিজ্জা খেল। খাওয়া শেষে প্রত্যেকে ১০ টাকা করে মোট ৩০ টাকা বিল দিল। পিজ্জার দাম ছিল ২৫ টাকা। তাই ক্যাশিয়ার টেবিল বয়কে দিয়ে ৫ টাকা ফেরৎ পাঠাল। কিন্তু ৫ টাকা ৩ জনকে ভাগ করে দেওয়া কঠিন ভেবে টেবিল বয় ২ টাকা নিজে রেখে ১ টাকা করে প্রত্যেককে ফেরত দিল।

    প্রত্যেক বন্ধু ১০ টাকা দিয়ে ১ টাকা ফেরত পেল। অর্থাৎ তাদের খরচ হল ৩*৯=২৭, টেবিল বয় নিল ২ টাকা, মোট ২৯ টাকা। ১ টাকা কোথায় গেল?

  7. মিতু জুলাই 20, 2011 at 10:33 অপরাহ্ন - Reply

    গ এর উত্তর বোধ হয় ৩০ দিন

    • তুহিন তালুকদার জুলাই 21, 2011 at 11:43 পূর্বাহ্ন - Reply

      @মিতু,

      আপনি সবগুলো মন্তব্য পড়ে আসুন। অনেকগুলো ধাঁধার সমাধান পেয়ে যাবেন।

  8. মিতু জুলাই 20, 2011 at 10:30 অপরাহ্ন - Reply

    (√5*√5)/5=1;
    5-5/5=4;
    5+5-5=5;
    5/5+5=6;

  9. প্রতিফলন জুলাই 20, 2011 at 2:57 অপরাহ্ন - Reply

    log{5}5*5 = 2

    • প্রতিফলন জুলাই 20, 2011 at 2:59 অপরাহ্ন - Reply

      দুঃখিত, এখানে তো ১ আর ৩ বের করতে হবে। ১ বের করে ফেলেছেন। ৩ চেষ্টা করে দেখি।

    • প্রতিফলন জুলাই 20, 2011 at 3:11 অপরাহ্ন - Reply

      ceil ( 5*5/5) = 3

    • তুহিন তালুকদার জুলাই 20, 2011 at 7:51 অপরাহ্ন - Reply

      @প্রতিফলন,

      ceil ( 5*5/5) = 3

      এখানে গাণিতিক অপারেটর ব্যবহার করে সমাধান কাঙ্খিত। ceil তো ল্যাঙ্গুয়েজ ফাংশন।

      • প্রতিফলন জুলাই 20, 2011 at 11:40 অপরাহ্ন - Reply

        @তুহিন তালুকদার,

        ceil তো ল্যাঙ্গুয়েজ ফাংশন।

        আপনি কি প্রোগ্রামিং ল্যাংগুয়েজ বুঝাতে চেয়েছেন? ceil এর জন্য concrete mathematics এ বহুল ব্যবহৃত অপারেটর আছে। নিচের ছবিটা দেখুন – আমি সিম্বল লিখতে পারিনি বলে ফাংশনের মতো করে লিখেছি।

        [img]http://upload.wikimedia.org/math/8/0/7/807e2debc359ab4b141d93f1b47e6742.png[/img]

        • পাপিয়া চৌধুরী জুলাই 21, 2011 at 1:09 অপরাহ্ন - Reply

          @প্রতিফলন,

          ceil এর জন্য concrete mathematics এ বহুল ব্যবহৃত অপারেটর আছে।

          আপাত এই সমস্যাটির জন্য ceil বা floor অপারেটরের দরকার কি?
          সহজ, সাধারণ, পরিচিত গাণিতিক অপারেটরের সাহায্যে যদি সমাধানে আসা যায় তো খামাখা কেন জটিলতায় যাওয়া।

          • প্রতিফলন জুলাই 21, 2011 at 1:54 অপরাহ্ন - Reply

            @পাপিয়া চৌধুরী,

            সহজ, সাধারণ, পরিচিত গাণিতিক অপারেটরের সাহায্যে যদি সমাধানে আসা যায় তো খামাখা কেন জটিলতায় যাওয়া।

            প্রোগ্রামিংয়ে কিংবা ধাঁধা সমাধানে প্রথম ও প্রধান বিবেচনা হলো – সেটা শুদ্ধ সমাধান কিনা। আর এসব ক্ষেত্রে সব সমাধানই কঠিন যতক্ষন একজন সেই সমাধানটা না জানে। বেশির ভাগ সময়েই সমাধান জানার পর মনে হয় – এত্ত সহজ! এটাতো আগেই জানা ছিল!! তবে সমাধান করাটাই প্রথমে বিবেচ্য। তাই জটিলতা আনাটা ‘খামাখা’ কিনা সে প্রশ্ন তোলা কতখানি ঠিক সেটাই প্রশ্নসাপেক্ষ।

            • পাপিয়া চৌধুরী জুলাই 21, 2011 at 4:52 অপরাহ্ন - Reply

              @প্রতিফলন,

              শুদ্ধ সমাধান যদি সহজ, সাধারণ, পরিচিত গাণিতিক অপারেটরের সাহায্যে করা যায় তো খামাখা কেন জটিলতায় যাওয়া?

              পিওর ম্যাথমেটিকস এর ১০ ভিত্তিক লগারিদম দিয়েই সমাধান পাওয়া যায়,
              সেখানে CONtinuous আর disCREET ম্যাথমেটিকস এর সংকর ধারা টেনে আনার যুক্তি দেখছিনা।

              • প্রতিফলন জুলাই 22, 2011 at 6:27 অপরাহ্ন - Reply

                @পাপিয়া চৌধুরী,

                আপনি আমার পয়েন্টটাই ধরতে পারেননি। হয়তো আমার কথা ততখানি প্রাঞ্জল ছিল না, দুঃখিত।

                একজন যখন কোন সমাধান জানেনা, তখন সে যেকোনভাবে সমাধান করতে চায়। তখন তার মাথায় যদি কোন আইডিয়া আসে, সেটা সহজ-সাধারণ-পরিচিত নাকি কঠিন-অসাধারণ-অপরিচিত সেটা তার কাছে কোন বিবেচ্য বিষয় না, এবং মোটেও খামাখ নয়। যেহেতু ঐ আইডিয়ার মাধ্যমে সে শুদ্ধ সমাধান করতে পেরেছে, তার মানে হলো সে ঐ আইডিয়ার উপর কিছুটা দখল রাখে। কথিত সহজ-সাধারণ-পরিচিত পদ্ধতি তখনো তার মাথায় আসেনি বলে সেটা তার কাছে তখন পর্যন্ত অপরিচিত এবং অতি অবশ্যই তখনও তার কাছে মারাত্মক কঠিন এবং অসাধারণ!

                মন্তব্যের সময় খেয়াল করে দেখবেন – যখন কঠিন-অসাধারণ-অপরিচিত সমাধানখানি দেয়া হয়েছে তখনও মন্তব্যের সারিতে সহজ-সাধারণ-পরিচিত সমাধানখানি আসেনি। এবং মন্তব্যকারীও জানতো না।

                এরপরেও যদি এখানে প্রাঞ্জলতাহীনতার কারণে আমার পয়েন্টখানি ধরতে না পারেন, তাহলে আমি অগ্রিম দুঃখিত।

  10. টেকি সাফি জুলাই 20, 2011 at 4:50 পূর্বাহ্ন - Reply

    ক) একটি ভুল সমীকরণঃ 101 – 102 = 1. এখানে কোন একটি অঙ্ককে (digit) এমনভাবে বদলে দিতে হবে (প্রয়োজনে অবস্থান) যেন সমীকরণটি শুদ্ধ হয়।

    102-101=1

    খ) তিনটি 5 ব্যবহার করে তৈরি দুটি সমীকরণঃ (5-5)/5 = 0 এবং (5 + 5)/5 = 2. তিনটি 5 ব্যবহার করে যেকোন গাণিতিক অপারেটরের সাহায্যে 1 আর 3 পেতে হবে। কেউ চাইলে এরপর 4,5,6 ইত্যাদিও পাওয়ার চেষ্টা করতে পারেন।

    1,3 তিনটা 5 ব্যবহার করে সম্ভব? 4টা ব্যবহার করতে দিলে পারতাম। বাকিগুলো সহজ, 5-(5/5)=4, 5+(5-5)=5, 5+(5/5)=6

    গ) একটি 30 মিটার গভীর কুয়া আছে যেখানে এক লম্ফমান ব্যাঙের বাস। ব্যাঙের ইচ্ছা, কুয়া থেকে বেরিয়ে এসে পৃথিবী দেখার। সে প্রতিদিন কুয়ার দেওয়াল বরাবর লাফিয়ে 3 মিটার উপরে উঠে আসে কিন্তু রাতে ঘুমানোর সময় 2 মিটার নিচের দিকে পিছলে যায়। এভাবে কতদিনে ব্যাঙটি উপরে উঠে আসতে পারবে?

    ২৮ দিনে ৩০ মিটার উঠবে, কিন্তু উপরে উঠা বলতে আমি যতদুর বুঝেছি ৩০মিটার ওঠা। তাহলে উত্তর ২৮ দিন কিন্তু যদি উপরে ওঠা বলতে ৩০মিটার পার হওয়া বুঝান তবে আরেকদিন লাগবে।

    • টেকি সাফি জুলাই 20, 2011 at 4:57 পূর্বাহ্ন - Reply

      @টেকি সাফি,

      দুঃখিত খেয়াল করিনি কোন একটি অঙ্ককে বলা হয়েছে আমি সংখ্যা পরিবর্তন করে ফেলেছি, আচ্ছা তারপরও উত্তরএ সংশোধনী আনছি, সঠিক উত্তর হবে 101-100=1

      • তুহিন তালুকদার জুলাই 20, 2011 at 3:13 অপরাহ্ন - Reply

        @টেকি সাফি,

        102-101=1

        পুরো সংখ্যাকে অদল বদল করা গ্রহনযোগ্য নয়। একটি ডিজিটই শুধু বদলানো যাবে, তাও অন্য ডিজিট দিয়ে প্রতিস্থাপন করে নয়। তাই 101-100=1 ও সঠিক উত্তর নয়, তবে কাছাকাছি। প্রয়োজনে কেবল ঐ একটি ডিজিটের অবস্থান বদলানো যাবে, বাকিগুলো অপরিবর্তনীয় থাকবে।

        1,3 তিনটা 5 ব্যবহার করে সম্ভব?

        অবশ্যই সম্ভব। আরেকটু চেষ্টা করে দেখুন।

        গ এর উত্তর সঠিক হয়েছে। অভিনন্দন।

        • মিতু জুলাই 20, 2011 at 10:40 অপরাহ্ন - Reply

          @তুহিন তালুকদার, (√5*√5)/5=1

        • পাপিয়া চৌধুরী জুলাই 21, 2011 at 1:13 অপরাহ্ন - Reply

          @তুহিন তালুকদার,

          প্রয়োজনে কেবল ঐ একটি ডিজিটের অবস্থান বদলানো যাবে, বাকিগুলো অপরিবর্তনীয় থাকবে।

          এইরকম কিছু কি সম্ভব?

          101 – 10^2= 1

          • তুহিন তালুকদার জুলাই 21, 2011 at 3:19 অপরাহ্ন - Reply

            @পাপিয়া চৌধুরী,

            উত্তর সঠিক হয়েছে। টেকি সাফিও প্রায় কাছাকাছি চলে গিয়েছিলেন। তবে তিনি ডিজিট প্রতিস্থাপন করে দিয়েছিলেন। আর “প্রয়োজনে অবস্থান বদল করা যাবে” এ ধরণের শর্ত প্রায়ই এভাবে বিভ্রান্ত করে যাতে অনেকেই মনে করেন, কেবল অবস্থান বদলের মাধ্যমেই সমাধান পেতে হবে। অংশগ্রহনের জন্য ধন্যবাদ।

    • ছদ্মবেশী জুলাই 20, 2011 at 11:33 পূর্বাহ্ন - Reply

      @টেকি সাফি,
      ৩ টা ৫ ব্যবহার করে ১ বের করতে পেরেছি।
      আমার কোন ব্যক্তিগত কম্পিউটার নেই। মোবাইলের সীমাবদ্ধতার কারণে কথায় লিখতে হচ্ছে। ক্ষমাসুন্দর দৃষ্টিতে দেখবেন।
      ৫এর বর্গমূল এবং ৫ এর বর্গমূলের গুণফলকে ৫দ্বারা ভাগ করলে সমাধান আসবে ১।

      • তুহিন তালুকদার জুলাই 20, 2011 at 4:48 অপরাহ্ন - Reply

        @ছদ্মবেশী,

        আমার কোন ব্যক্তিগত কম্পিউটার নেই। মোবাইলের সীমাবদ্ধতার কারণে কথায় লিখতে হচ্ছে। ক্ষমাসুন্দর দৃষ্টিতে দেখবেন।

        Hats off. :clap

        ৫এর বর্গমূল এবং ৫ এর বর্গমূলের গুণফলকে ৫দ্বারা ভাগ করলে সমাধান আসবে ১।

        অর্থাৎ, (√৫ * √৫)/৫। উত্তর সঠিক হয়েছে। অভিনন্দন।

  11. আল্লাচালাইনা জুলাই 20, 2011 at 4:39 পূর্বাহ্ন - Reply

    প্রথম তিনটার একটাও পারিনি। তবে ধাঁধার প্রকৃতি বুঝতে সহায়তা করেছে প্রথম তিনটি।

    ক) ১০১ – ১০২ = ১ এখানে দুটি – দ্বারা গঠিত সমান সমান চিহ্নের যেকোন একটি – কে নিয়ে বিয়োগ চিহ্নের নীচে বসাতে হবে যাতে ১০১ = ১০২ – ১ হয়।

    খ।) লগ(৫) {৫*৫/৫} = ১; লগ(৫) {৫*৫*৫} = ৩ ।

    গ।) প্রতিদিন ব্যাঙ্গে নেট উঠছে ১ মিটার, তাহলে ৩০ মিটার উঠতে ৩০ দিনই লাগবে।

    • টেকি সাফি জুলাই 20, 2011 at 4:54 পূর্বাহ্ন - Reply

      @আল্লাচালাইনা,

      গ) নম্বরে ধরা খেয়েছেন :)) :)) ২৭ দিনে ২৭ মিটার উঠবে, পরেরদিন (২৮তম দিনে) ৩ মিটার=৩০মিটার, মিশন শেষ! :))

      খ) নম্বরে এভাবে করতে দিলে ৪টা ৫ ব্যবহার হয়ে যাচ্ছে না?

    • তুহিন তালুকদার জুলাই 20, 2011 at 11:50 পূর্বাহ্ন - Reply

      @আল্লাচালাইনা,

      ক) এখানে বলা হয়েছে, যে কোন একটি অংক বা ডিজিটকে বদলে দিতে হবে। অর্থাৎ, ১০১ – ১০২ = ১ এর কেবল একটি ১ বা ০ বা ২ কে বদলে দিতে হবে। সম্পূর্ণ সংখ্যার অবস্থান বদলানো গ্রহনযোগ্য নয়।
      তবে, এক্ষেত্রে ২ কে বদলে ০ করে দেওয়াও গ্রহনযোগ্য নয়। কারণ, এত সহজ কোন সমাধানকে ঠিক ধাঁধা বলা যায় না।

      খ) খুব কাছাকাছি আছেন। সমাধানের দিকে এগিয়ে যেতে পারার জন্য অভিনন্দন।

      উত্তরগুলো আমি এখনই বলছি না। সবাই একটু চেষ্টা করুক। তবে শীঘ্রই জানাবো। প্রচেষ্টার জন্য ধন্যবাদ।

    • তুহিন তালুকদার জুলাই 20, 2011 at 8:16 অপরাহ্ন - Reply

      @আল্লাচালাইনা,

      খ) ৫ ভিত্তিক লগারিদম (log(5)) কে অপারেটর বিবেচনা করলে আপনার উত্তরটি ঠিক আছে। অনেক ক্ষেত্রে বর্গ (X^2), ঘন (x^3) ইত্যাদিকেও অপারেটর বিবেচনা করা হয়। সেখানে 2,3 এগুলোকে আলাদা সংখ্যা হিসেবে দেখা হয় না। এভাবে একবার চেষ্টা করে দেখুন।

      • প্রতিফলন জুলাই 21, 2011 at 12:02 পূর্বাহ্ন - Reply

        @তুহিন তালুকদার,

        x^2, x^3 এগুলোকে অপারেটর বললে নিচের মতো করে অনেক কিছু করা যায়। 🙂

        1 = log(5){5^3/5^2}
        2 = log(5){5*5}
        3 = log(5){5^2*5}
        4 = log(5){5^2*5^2}
        5 = log(5){5^2*5^3}
        6 = log(5){5^3*5^3}
        7 = log(5){(5^2)^2*5^3}
        8 = log(5){(5^2)^2*(5^2)^2}

        • তুহিন তালুকদার জুলাই 21, 2011 at 11:38 পূর্বাহ্ন - Reply

          @প্রতিফলন,

          x^2, x^3 এগুলোকে অপারেটর বললে নিচের মতো করে অনেক কিছু করা যায়।

          অবশ্যই যায়। এটাই তো সংখ্যা আর অপারেটর নিয়ে খেলার মজা, তাই না?

      • পাপিয়া চৌধুরী জুলাই 21, 2011 at 12:18 অপরাহ্ন - Reply

        @তুহিন তালুকদার,

        সাধারণ ১০ ভিত্তিক লগারিদম দিয়েও তো ৩ এর সমীকরণ বের করা যায়।

        5 – (log(5^2)) / (log5) = 3

        • তুহিন তালুকদার জুলাই 21, 2011 at 3:10 অপরাহ্ন - Reply

          @পাপিয়া চৌধুরী,

          অভিনন্দন। আসলে আমি নিজেও এরকমই সহজ সমীকরণ আশা করেছিলাম। তবে ৫ ভিত্তিক লগারিদম ব্যবহারও অন্যতম সমাধান।

  12. মইনুল রাজু জুলাই 20, 2011 at 2:06 পূর্বাহ্ন - Reply

    ঠিক আছে, আমি ছোট্ট একটা ধাঁধা দিচ্ছি।

    ধরুণ একটা অন্ধকার কক্ষে দুইটা বড় প্লেট আছে। একটা প্লেট খালি এবং অন্যটাতে ১০০টি কয়েন (পয়সা) আছে। ১০০টি কয়েনের মধ্যে ১০টির হেড্‌ উপরের দিকে অর্থাৎ দ্যাখা যাচ্ছে, বাকী ৯০টির টেইল উপরের দিকে।

    এই অন্ধকার কক্ষে আপনাকে চোখ বেঁধে ছেড়ে দিয়ে বলা হলো, প্রথম প্লেট থেকে যতগুলো খুশী কয়েন দ্বিতীয় প্লেটে আনা-নেওয়া করা যাবে, কিন্তু শর্ত হলো প্রথম প্লেটে যতগুলো হেড্‌ উপরের দিকে থাকবে, দ্বিতীয় প্লেটেও ঠিক ততগুলো হেড্‌ উপরের দিকে থাকতে হবে। উল্লেখ্য, কয়েন স্পর্শ করে বুঝার উপায় নেই কোনটা হেড আর কোনটা টেইল। কিভাবে করবেন?

    • সংশপ্তক জুলাই 20, 2011 at 3:12 পূর্বাহ্ন - Reply

      @মইনুল রাজু,

      একটু চেষ্টা করি :

      ১ম প্লেট থেকে বিক্ষিপ্ত (random) ৫০ টা কয়েন ২য় প্লেটে নেয়ার পরপরই সবগুলো কয়েন উল্টিয়ে দেয়া হবে । এর ফলে ১ম এবং ২য় প্লেটে সমান সংখ্যক ( x ) হেড থাকবে। ঠিক হয়েছে ?

      • মইনুল রাজু জুলাই 20, 2011 at 3:28 পূর্বাহ্ন - Reply

        @সংশপ্তক,

        অবশ্যই ঠিক হয়নি 🙂 ।

        • সংশপ্তক জুলাই 20, 2011 at 3:46 পূর্বাহ্ন - Reply

          @মইনুল রাজু,

          অবশ্যই ঠিক হয়নি 🙂 ।

          বাঁচা গেল ! ব্যাকটেরিয়াদের বিরহে একাকী ফেলে M$ Corp. এ আর চাকুরী করতে যেতে হলো না। :))

          • মইনুল রাজু জুলাই 20, 2011 at 4:03 পূর্বাহ্ন - Reply

            @সংশপ্তক,
            একেবারে মরতে মরতে বেঁচে গেছেন। এবার শবে বরাতে মনে হয় খুব ইবাদত করেছিলেন। :))

    • ছদ্মবেশী জুলাই 20, 2011 at 11:20 পূর্বাহ্ন - Reply

      @মইনুল রাজু,
      এবার আমি একটু চেষ্টা করে দেখি ।
      ১ম প্লেট থেকে সবকটি কয়েন পৃষ্ঠ পরিবর্তন না করে ২য় প্লেটে রাখতে হবে । তাহলে ২য় প্লেটে ১ম প্লেটের অনুরূপ ১০ টি হেড উপরের দিকে থাকবে ।
      হয়েছে?

      • মইনুল রাজু জুলাই 20, 2011 at 7:15 অপরাহ্ন - Reply

        @ছদ্মবেশী,

        শর্ত ছিলো প্রথম প্লেটে যতগুলো হেড থাকবে দ্বিতীয় প্লেটেও ততগুলো থাকতে হবে। আপনার সমাধানে অনুযায়ী ২য় প্লেটে ১০টি হেড এবং প্রথম প্লেটে ০টি হেড্‌ থাকবে, সমান তো হলো না।

    • প্রতিফলন জুলাই 20, 2011 at 2:46 অপরাহ্ন - Reply

      @মইনুল রাজু,
      প্লেট থেকে সব কয়েন সরিয়ে মাটিতে ফেলে দিতে হবে। হয়েছে?

      • মইনুল রাজু জুলাই 20, 2011 at 7:17 অপরাহ্ন - Reply

        @প্রতিফলন,
        এক প্লেট থেকে অন্য প্লেটে যতখুশী সরাতে পারবেন। মাটিতে সরাতে/ফেলতে পারবেন না।

        • প্রতিফলন জুলাই 21, 2011 at 12:12 পূর্বাহ্ন - Reply

          @মইনুল রাজু,

          “অন্ধকার” কক্ষে দেখা যায় না – এরকম কোন ফাঁক-ফোকর আছে? :-s

    • তুহিন তালুকদার জুলাই 20, 2011 at 8:24 অপরাহ্ন - Reply

      @মইনুল রাজু,

      ধন্যবাদ আপনার ধাঁধা জিজ্ঞেস করার জন্য। চেষ্টা করে দেখব।

    • তুহিন তালুকদার জুলাই 20, 2011 at 10:37 অপরাহ্ন - Reply

      @মইনুল রাজু,

      প্রশ্নটি পড়ে মনে হচ্ছে, এখানে ১০ আর ৯০ সংখ্যা দুটির বিশেষ তাৎপর্য আছে।
      ঠিক ৫,৪৫ বা ৫০টি নয়, হয় ১০টি কয়েন না হয় ৯০ টি কয়েন সরিয়ে নিতে হবে। কিন্তু সেক্ষেত্রে হেড বা টেইলের সংখ্যা কিভাবে বোঝা যাবে তা বুঝতে পারছি না।

      • মইনুল রাজু জুলাই 21, 2011 at 12:55 পূর্বাহ্ন - Reply

        @তুহিন তালুকদার,

        প্রথম প্লেট থেকে যেকোনো ১০টি কয়েন ২য় প্লেটে নিয়ে উল্টিয়ে দিলেই দুই প্লেটে হেড্‌ এর সংখ্যা সমান হবে। কনফিউজিং মনে হলে একটু চিত্র এঁকে দেখে নিলেই হবে। উপরে সংশপ্তক প্রায় সমাধান করেই ফেলেছিলেন। আরেকটু এগোলেই উনার হয়ে যেতো।

        ধন্যবাদ।

        • প্রতিফলন জুলাই 21, 2011 at 1:41 পূর্বাহ্ন - Reply

          @মইনুল রাজু,

          প্রথম প্লেট থেকে যেকোনো ১০টি কয়েন ২য় প্লেটে নিয়ে উল্টিয়ে দিলেই দুই প্লেটে হেড্‌ এর সংখ্যা সমান হবে।

          (Y)

        • তুহিন তালুকদার জুলাই 21, 2011 at 11:34 পূর্বাহ্ন - Reply

          @মইনুল রাজু,

          আপনার বর্ণিত সমাধানটি বোধহয় এরকমঃ

          ১০ টি কয়েন সরানোর পর

          ১ম প্লেট
          ৯০টি কয়েন
          (১০-n)টি হেড
          ৯০-(১০-n)=(৮০+n)টি টেইল

          ২য় প্লেট
          ১০টি কয়েন
          nটি হেড
          (১০-n)টি টেইল

          ২য় প্লেটের সব কয়েন উলটে দিলে,
          (১০-n)টি হেড

          আমি ৯০টি কয়েন দিয়েও হিসাব করে দেখেছি।

          ৯০ টি কয়েন সরানোর পর

          ১ম প্লেট
          ১০টি কয়েন
          (১০-n)টি হেড
          nটি টেইল

          ২য় প্লেট
          ৯০টি কয়েন
          nটি হেড
          (৯০-n)টি টেইল

          ১ম প্লেটের সব কয়েন উলটে দিলে,
          nটি হেড

          আমি প্রথমে নিজে থেকে যতটুকু উত্তর দিতে পেরেছিলাম, মাইক্রোসফটে ততটুকু বলতে পারলে কি ৫০% মার্ক দেওয়া হত? 😉

মন্তব্য করুন